Metode pengolahan Sinyal dengan Berbagai Jenis Transformasi

Transformasi Fourier

      Transformasi Fourier merupakan transformasi paling penting di dalam bidang pengolahan sinyal (signal processing), khususnya pada bidang pengolahan citra.

      Umumnya sinyal dinyatakan sebagai bentuk plot amplitudo versus waktu (pada fungsi satu matra) atau plot amplitudo versus posisi spasial (pada fungsi dwimatra). Pada beberapa aplikasi pengolahan sinyal, terdapat kesukaran melakukan operasi karena fungsi dalam ranah waktu/spasial, misalnya pada operasi konvolusi di atas. Operasi konvolusi dapat diterapkan sebagai bentuk perkalian langsung bila fungsi berada dalam ranah frekunsi.

      Transformasi Fourier adalah kakas (tool) untuk mengubah fungsi dari ranah waktu/spasial ke ranah frekuensi. Untuk perubahan sebaliknya digunakan Transformasi Fourier Balikan. Intisari dariTransformasi Fourier adalah menguraikan sinyal atau gelombang menjadi sejumlah sinusoida dari berbagai frekuensi, yang jumlahnya ekivalen dengan gelombang asal

Sehingga Transformasi Fourier adalah suatu model transformasi yang memindahkan domain spasial atau domain waktu menjadi domain frekwensi.

Transformasi Fourier merupakan suatu proses yang banyak digunakan untuk memindahkan domain dari suatu fungsi atau obyek ke dalam domain frekwensi. Di dalam pengolahan citra digital, transformasi fourier digunakan untuk mengubah domain spasial pada citra menjadi domain frekwensi. Analisa-analisa dalam domain frekwensi banyak digunakan seperti filtering. Dengan menggunakan transformasi fourier, sinyal atau citra dapat dilihat sebagai suatu obyek dalam domain frekwensi.

Fourier mendefinisikan transformasi Fourier dari deret Fourier bentuk kompleks (eksponensial), yaitu dengan menganggap fungsi non periodik adalah fungsi periodik dengan perioda tak berhingga

Transformasi Laplace

 Transformasi Laplace adalah suatu teknik untuk menyederhanakan permasalahan dalam suatu sistem yang mengandung masukan dan keluaran, dengan melakukan transformasi dari suatu domain pengamatan ke domain pengamatan yang lain.

 Dalam matematika jenis transformasi ini merupakan suatu konsep yang penting sebagai bagian dari analisis fungsional, yang dapat membantu dalam melakukan analisis sistem invarian-waktu linier, seperti rangkaian elektronik, osilator harmonik, devais optik dan sistem-sistem mekanik. Dengan mengetahui deksripsi matematika atau fungsional sederhana dari masukan atau keluaran suatu sistem, transformasi Laplace dapat memberikan deskripsi funsional alternatif yang kadang dapat menyederhanakan proses analisis kelakukan dari sistem atau membuat suatu sistem baru yang berdasarkan suatu kumpulan spesifikasi.

     Dalam sistem fisik sebenarnya transformasi Laplace sering dianggap sebagai suatu transformasi dari cara pandang domain-waktu, di mana masukan dan keluaran dimengerti sebagai fungsi dari waktu, ke cara pandang domain-frekuensi, di mana masukan dan keluaran yang sama dipandang sebagai fungsi dari frekuensi angular kompleks, atau radian per satuan waktu. Transformasi ini tidak hanya menyediakan cara mendasar lain untuk mengerti kelakukan suatu sistem, tetapi juga secara drastis mengurangi kerumitan perhitungan matematika yang dibutuhkan dalam menganalisis suatu sistem.

Transformasi Laplace memiliki peran penting dalam aplikasi-aplikasi dalam bidang fisika, optik, rekayasa listrik, rekayasa kendali, pemrosesan sinyal dan teori kemungkinan.

Definisi formal Trnsformasi Laplace

Transformasi Laplace dari suatu fungsi f(t), yang terdefinisi untuk semua nilai t riil dengan t ≥ 0, adalah fungsi F(s), yang didefinisikan sebagai:

${\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int _{0^{-}}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.}$

Limit bawah ${\displaystyle 0^{-}}$ adalah kependekan dari ${\displaystyle \lim _{\epsilon \rightarrow +0}-\epsilon \ }$ dan memastikan inklusi dari keseluruhan fungsi delta Dirac ${\displaystyle \delta (t)\ }$ pada 0 jika terdapat suatu impuls dalam f(t) pada 0.

Secara umum parameter s bernilai kompleks:

${\displaystyle s=\sigma +i\omega \,}$

Jenis transformasi integral ini memiliki sejumlah sifat yang membuatnya amat berguna bagi analisis sistem dinamik linier. Keunggulan utama dari cara ini adalah mengubah proses diferensiasi menjadi perkalian dan integrasi menjadi pembagian, dengan adanya s (Hal ini mirip dengan fungsi logaritma yang mengubah operasi perkalian dan pembagian menjadi penjumlahan dan pengurangan). Perubahan persamaan integral dan diferensial menjadi bentuk polinomial menyederhanakan proses penyelesaian

Transformasi Z

Adalah suatu transformasi yang  mengubah sinyal waktu diskrit ke dalam bentuk kompleks dalam domain frekuensi

  Berguna untuk menyelesaikan persamaan beda (difference equation). Hal ini serupa dengan kegunaan transformasi Laplace, tetapi berlaku untuk sinyal dan sistem waktu diskrit

Transformasi-z dari suatu sinyal x(n) didefinisikan sebagai:

di mana z adalah suatu variabel bilangan komplek, yaitu z = re ^{j W}.

Region of Convergence

Transformasi-z adalah suatu deret tak hingga, sehingga mungkin divergen untuk beberapa nilai z.

Transformasi-z hanya didefinisikan untuk suatu daerah yang hasil transformasinya adalah terhingga, diberi nama Region of Convergence.

Region Of Convergence (ROC) dari transformasi-z berbentuk :

R₁ < |z| < R₂, dimana |z| = r.                              

dengan batas R₁ dan R₂ adalah tergantung pada sinyal yang ditransformasikan.

  

Sifat-sifat Transformasi Z

—  Linier

—  Penggeseran Waktu

—  Perkalian dengan Waktu

—  Pembalikan Waktu

—  Perkalian dengan  aⁿ

—  Teorema Nilai Awal

—  Teorema Nilai Akhir

TRANSFORMASI WAVELET

Kata Wavelet dikemukakan oleh Morlet dan Grossmann pada awal tahun 1980, dalam bahasa Prancis ondelette, yang berarti gelombang kecil. Dan setelah itu dalam bahasa Inggris kata onde diganti menjadi wave sehingga menjadi Wavelet. Transformasi wavelet merupakan suatu transformasi linear yang hampir mirip dengan transformasi Fourier, dengan satu perbedaan penting: transformasi wavelet membolehkan penempatan waktu dalam komponen-komponen frekuensi yang berbeda dari sinyal yang diberikan.

Analisis wavelet adalah sebuah teknik penjendelaan variabel (variable windowing technique) dan mengijinkan penggunaan interval waktu yang panjang dimana kita menginginkan informasi frekuensi rendah yang lebih tepat, dan daerah/wilayah yang lebih pendek dimana kita menginginkan komponen- komponen frekuensi yang lebih tinggi.

Secara garis besar transformasi wavelet terbagi dua yaitu : transformasi wavelet kontinyu dan transformasi wavelet diskrit.

1.       Transformasi Wavelet Kontinyu

Cara kerja transformasi wavelet kontinyu (TWK) adalah dengan menghitung konvolusi sebuah sinyal dengan sebuah jendela modulasi pada setiap waktu dengan setiap skala yang diinginkan. Jendela modulasi yang mempunyai skala fleksibel inilah yang biasa disebut induk wavelet atau fungsi dasar wavelet.

2.       Transformasi Wavelet Diskrit

Dibandingkan dengan TWK, transformasi wavelet  diskrit (TWD) dianggap relatif lebih mudah pengimplementasiannya. Prinsip dasar dari TWD adalah bagaimana cara mendapatkan representasi waktu dan skala dari sebuah sinyal menggunakan teknik pemfilteran digital dan operasi sub-sampling.

Untuk bentuk TWD, persamaan yang diberikan adalah

TWD (m,n) = Σ (a0m -0,5)f(k)[ψ((n-ka0m)/(a0))]